Questionnement de Mathématiques:
Expérience 1 :
Comment estimer l’effectif d’une population animale, par exemple des oiseaux ?
Idée fondamentale :
On peut ramener le problème à l’estimation du nombre d’allumettes d’un tas, déposé sur une table.
Protocole :
Prendre dans le tas d’allumettes un échantillon de taille a, que l’on « bague » puis que l’on remet dans le tas.
On reprend au hasard un échantillon de taille a dans le tas et on compte le nombre d’allumettes baguées, que l’on note k, dans ce second échantillon.
La formule d’estimation du nombre (noté N) total d’allumettes du tas est :
a : taille de l’échantillon
k : nombre d’allumettes baguées dans le 2ème échantillon.
N : estimation cherchée.
Conseils et commentaires :
Cette activité peut se pratiquer en groupes.
Faire plusieurs expériences avec le même tas.
Discuter des valeurs obtenues (certaines pourront être aberrantes). Peut-être conviendra t-il de faire une moyenne ?
C’est l’occasion de parler de ce que l’on appelle estimation en mathématiques : les mathématiciens s’intéressent autant aux calculs exacts qu’aux valeurs approchées !
Expérience 2 :
Connaissant la formule du périmètre d’un cercle (ou circonférence), comment estimer la surface de « l’intérieur du cercle » (ou disque) ?
Protocole :
Partager le cercle, par exemple en 12 portions égales. (On peut bien sûr partager le disque en 6 portions égales).
Si R est le rayon du cercle alors son demi périmètre est égal à p x R
Remarque : partager un cercle en 12 peut se faire à partir du partage en 6, qui est connu puisqu’il constitue le principe de la rosace)
Prenons la moitié des parts et alignons les comme ci-dessous :
En plaçant l’autre moitié des parts entre « les dents de scie », on obtient quelque chose qui ressemble à un parallélogramme.
Ce parallélogramme a pour base la demi-circonférence du cercle (p x R)
D’où l’estimation de l’aire du disque : hauteur du parallélogramme x base = R x p x R = aire du disque
Et l’on retrouve la formule connue :
p x R x R = p x R²
Conseils et commentaires :
On peut appliquer ce principe en partageant le
cercle en 6, 12, 24… portions égales et l’on retrouve à chaque fois la même
formule.
Il est conseillé d’avoir étudié préalablement
l’aire du parallélogramme : là aussi on peut le faire facilement en se ramenant
à un rectangle par décomposition du parallélogramme puis recomposition.
Jean-Luc BousseyrouxOn est devant un joli paradoxe : l’estimation trouvée correspond en fait à
la formule exacte…